bonne appetit

XI- exercices d’arithmétique :


Ex1 : montrez que pour tout n élément de IN on a :
1- i- 2 divise n²-n ii- 3 divise n^3-n iii- 5divise n^5-n iv-7 divise n^7-n.
2-Determinez le reste de la division euclidienne de :
i- 19^52*23^91 par 7 ii-2005^2004 par11 iii-3971^273 par 5.
Ex2 : i- montrez que :17/3*52n+1 +23n+1 pour tout n de IN .
ii- résoudre dans IN 2n +3n =0 mod.(7).
iii- Déterminez suivant les valeurs de l’entier n le reste de la division euclidienne de 2n par 9 .
iv- montrez que pour tout n de IN on a :9/ 22n(22n+1-1).
Ex3 :résoudre dans IZ les équations suivantes :
i-n+8=o [n-2] ii- n+7 = 0 [n-5] iii- n²+n+7= 0 [13] .
Ex4 : 1- Résoudre dans IZ/5IZ :
i- 13n+44=0 [5] ii-7x=3 [5] 19x=11 [5] iii- x²-2x+2=0.
2-résoudre dans IZ :2x²-3x -2 =0 [7] .
3- i- Résoudre dans IZ² :
6x-13y=5
ii-En déduire les solutions du système =2 [6] et x=7 [13].
4- Résoudre dans IZ²
i-55x-16y=0 ii- 55x-16y=1 iii-17x-5y=7 iv- 323x-391y=612.
v- xy -4y -12 =0 vi- x²-6x-63=y² vii- (x-3)(y-4)=900 .
Ex5 : soient a ,b et c des entiers montrez que :
1- i- a^b=1 est équivalent à c^a=1 alors a^cb=1 ii- a^b=1 est équivalent à a²^b²=1 , généralisez . montrez que an^bn= (a^b)n puis que : an/bn est équivalent à a/b.
iii- soient a ,b q et r des éléments de IZ* ; montrez que si b=aq+r alors a^b =a^r.
iv- en déduire que (5n3-n)^(n+2)= (n+2)^38.
v- quelles sont les valeurs possibles de : (5n3-n)^(n+2) .
vi- Résoudre dans IZ : 5n3 –n=0 [n+2].
2-n est un élément de IN déterminez :
i- (9n+4)^(2n+1) ii- déterminez suivant les valeurs de n :
(9n+4)^(2n-1).
Ex6 :soit a ,b élément de IN* a>2 et a impair on pose d=(2a-1)^(2b+1).
1- montrez que 2ab=1 [d] et 2ab=-1 [d].
2- en déduire que d=1.
Ex 7 : x, n , m et d des éléments de IN*.
1- montrez que : d/n implique (xd-1)/(xn-1).
2- On pose d=n^m :
i- montrez qu’il existe u et v dans IN ; mu-nv= d .
ii- en déduire que (xm-1)(xn-1) = xd-1.
iii- Déterminez (27-1)^(213-1) (227-1)^(215-1).
Ex8 : montrez que pour tout n élément de IN* on a :
i-6/n(n+1)(n+2) ii- 42/n7 –n iii-n² / (n+1)n-1 .
iv- (2n-1)² / 2n(2^n-1)-1.

Ex: 9 - Résoudre dans : 17x-7y=1.

-résoudre dans IZ ( x=2 mod(7) et x= -2 mod(17)).
-résoudre dans IZ  x= -2 mod (7) et x=2 mod(17)).
- résoudre dans IZ ²=4mod(119).
Ex10 : a- montrez que si n²+20n+74=0 [169] alors (n-3)²=0[13].
b-en déduire que n-3=0[13]
c-si n-3=0[13] déterminez la classe modulo 169 de n²+20n+74.
Ex11 :1- soit k un élément de IN , déterminez la classe de k² modulo 4.
2-montrez que si les entiers n et m sont impairs, alors n²+m² n’est pas le carré d’un entier.
Ex12 :1-Déterminez les entiers n tels que : n²=1[11].
2-Déterminez les entiers n ;n²=3[11].
3- cl(2) est il inversible dans (IZ/11IZ ,*) ?qu’il est son inverse ?
4- résoudre dans (IZ/11IZ )² le système :(4x²+y² =2 et xy=3).
Ex13 :1- Ecrire l’algorithme d’Euclide pour les nombres 158 et 271 ; qu’il est le PGCD(158 ,271).
2-En déduire un couple d’éléments (u ,v) de IZ² vérifiant 158u+271v=1.
3-Montrez que cl(158) est inversible dans (IZ/271IZ ,*) et précisez son inverse.
Ex14 :1- Calculez (29*31)-29-31
2-Montrez que pour tout n de IN on a : n^29/29 +n^31/31 +(839n/899) est un entier.
Ex15 :on pose u=2-sqrt(3) et v=2+ sqrt(3).
1-montrez par récurrence sur n qu’on peux écrire un =an+bn sqrt(3) et
vn =an-bn sqrt(3).avec an et bn des éléments de IN.
2-vérifiez que an²-3bn²=1 et que anbn+1-an+1bn=1
3- on déduire que an ^bn =1 , an^an+1=1…
Ex16 :montrez que f(n,p)=2n(2p+1) est une bijection de IN² vers IN*.
Ex17 :Soit n un entier >0. considérons l’équation € :(x-2n)(y-2n)=2n² .
1-montrez que si d²/2n² alors d/n.
2-on pose : d=(x-2n)^(y-2n) montrez que si (x,y) vérifie € alors d/x^y.
3- montrez que x²+y²=(x+y-2n)² et on déduire que (x^y)/d.
4- montrez que (x^y)/n.
5-déterminez x et y si x^y=1 et n=30.
Ex 18: Soit a,b deux entiers et p un nombre premier ; (a+b)^ab=p²
1- montrez que p²/a² et en déduire que p/a et p/b .
2- montrez que a^b=p ou a^b=p².
3- considérons dans IN² le système ( a+b)^ab=49 et avb=231) (S).
i- montrez que a^b=7 .
ii- R2soudre dans IN² le système (S).
Ex19 :Soit a et b deux entiers >0.
1- montrez que a^b=1 est équivalent à ab^(a+b)=1.
2- Considérons dans IN² le système (S) : (x^y=2 et (x+y)/(x²+y²) ).
i-on pose x=2x’ et y=2y’ avec x’^y’=1 montrez que (x’+y’)/4.
ii- résoudre dans IN² le système (S).
Ex20 : 1- déterminez suivant la parité de n : (n+1)^(n²+1).

2- Montrez que n²+1 n’est pas un carré pour tout n de IN .


3-soit a et b deux entiers ;a^b=1 et a(n²+1)=b²(n+1).
i- monter que a^b²=1 puis que a<=n et b<=n.
ii- montrez que (n²+1)^(n+1)=2.



iii- on pose n²+1=2p et n+1=2q avec p^q=1 montrez que a=q et b²=p.
iv- on suppose que b=a+1 déterminez a,b et n.
Ex21 :considérons l’équation € :4x²-9y²=432 dans IZ².
1- montrez que si (x,y) est solution de € alors 3/x et 2/y.
2- montrez que si (X,Y) est solution de X²- Y²=12 alors (3X,2Y) est solution de €.
3- Résoudre dans IZ² X²-Y²=12.
4- On déduire les solution de 5E) dans IZ².
Ex22 :on pose a=np et b=p(n-1) avec p>0 et n>1.
1- montrez que a^b=a-b.
2- montrez que si a et b vérifient a^b= a-b alors il existe p ;a=np et b=p(n-1).
3- Soit x et y dans IN*on pose a=40x(3y+2) ,b=15x(8y+5) et c=24x(5y+3).
i- déterminez a^b et b^c
ii- montrez que a^b^c=x.
Ex23 :théorème de Fermat
Soit p >1 premier et n élément de IN*non divisible par p. considérons les nombres n ,2n,3n,……(p-1)n ; et soit r1, ….rp-1 les restes respectifs de la division euclidienne des nombres ci-dessus par p.
1-montrez que les ri i=1,2,…p-1 sont deux à deux distinct et non nul.
2-en déduire que np-1=1 [p]. a –t-on la réciproque ?
3-montrez que pour tout p premier >1 et pour tout a de IN on a : ap=a [p].
4-montrez que pour tout a de IZ on a : ap=a [p].
Ex24 : encor théorème de Fermat :soit p un entier premier >1.
1-montrez que pour tout k élément de {1,2,…p-1} ;on a p/ Cpk ..
2-en déduire que pour tout a de IN on a : ap=a [p].
3-en déduire que pour tout élément a de IZ on a : ap=a [p].
Ex25 :théorème de Wilson :
Soit p un nombre premier >1.
1-montrez que pour tout entier n on a : p^n=1 si et seulement si il existe u dans IZ ;nu=1[p].
2- en déduire que n est inversible dans IZ/pIZ ,*) si et seulement si n^p=1.
3-montrez que les solutions de x²=cl(1) dans IZ/pIZ cl(1) et cl(p-1).
4- en déduire que (p-1) !=1 [p].
5-soit p>1 un nombre premier ; (p-1) !=1 [p] montrez que p est premier.
6-en déduire que pour tout p entier >1 on a :
p est premier si et seulement si (p-1)=1[p]. ( c’est le théorème de Wilson).
Ex26:1-x,y et z étant des éléments de IZ*montrez que (x^y=1 et x^z=1)x^yz=1.
2-soit p,q et r des entiers non nuls ;p=qs +r ; montrez que p^q=q^r.
3-soit a et b deux entiers , 2<b<a et a^b=1 .
on considère E={b’ } et :
F ={ab’/b’ E}.
i- soit x F montrez que x^b=1.
ii- soit x et y deux éléments de F montrez que x y.


iii- soit rx et ry les restes respectif dans la division euclidienne de x et y par b .
Montrez que rx ry , rx^b=1 et ry^b=1.
4-on note p(E) le produit de tous les éléments de E et p(F) le produit de tous les éléments de F .
montrez que p(F)=p(E) [b] .


5-Application on note le cardinal de E .
i- montrez que =1 [b]. (théorème d’Euler)

ii-on déduire que si b=p est premier alors on a =p-1 et alors :
ap-1=1 [p] (théorème de Fermat)

MERCI pour ce festin

alors vous nous epater:lol!:

j'ai perdu l' appitee

Merci Mr nicola

editer par patrick